Question

过椭圆的左焦点F且倾斜角为60°的直线交椭圆于A、B两点，若|FA|=2|FB|，则此椭圆的离心率

过椭圆的左焦点F且倾斜角为60°的直线交椭圆于A、B两点，若|FA|=2|FB|，则此椭圆的离心率为？？？

Answer 1

方法一：A（x1,y1),B(x2,y2)由题：y1/y2=-2
-2-1/2=y1/y2+y2/y1=(y1平方+y2平方)/y1y2=(y1+y2)^2/y1y2-2
(y1+y2)^2/y1y2=-1/2
直线：x=√3/3y-c与椭圆联立化简得：（1/3a^2+1/b^2)y^2-2√3cy/3a^2+c^2/a^2-1=0
用韦达得e=2/3
方法二：分别从A、B向左准线作垂线AM、BN,垂足M、N,
∵倾斜角为60度,∴|AM|>|BN|,
作BH⊥AM,垂足H,
|AH|=|AM|-|BN|,
根据椭圆第二定义,|AF|/|AM|=e,
|BF|/|BN|=e,
|AF|/|BF|=|AM|/|BN|=2,
|MH|=|BN|,
|AM|=2|MH|,
∴H是AM的中点,
BH是AM的垂直平分线,
〈MAB=〈AFX=60°,
∴△AMB是正△,
|AB|=|AM|,
|AF|/|BF|=2,
|AF|/|AB|=2/3,
∴离心率e=|AF|/|AM|=|AF|/|AB|=2/3.,

Answer 2