Question

limx趋向于无穷(cos1/x)^(x^2)的极限 求解

Answer 1

解：

lim(x→0)x*ln[cos(1/x)]

= lim(t→inf.)(1/t)*ln(cost) (令 t=1/x)

= lim(t→inf.)(1/t)*(cost-1) (等价无穷小替换)

= 0

lim(x→0)[cos(1/x)]^x

= e^lim(x→0)x*ln[cos(1/x)]

= e^0

= 1

注意几何意义：

在区间(a-ε，a+ε)之外至多只有N个（有限个）点；所有其他的点xN+1,xN+2,...（无限个）都落在该邻域之内。这两个条件缺一不可，如果一个数列能达到这两个要求，则数列收敛于a；而如果一个数列收敛于a，则这两个条件都能满足。

换句话说，如果只知道区间(a-ε，a+ε)之内有{xn}的无数项，不能保证(a-ε，a+ε)之外只有有限项，是无法得出{xn}收敛于a的，在做判断题的时候尤其要注意这一点。

Answer 2