Question

如图,圆O是RT三角形ABC的外接圆,角ABC=90度,BD=BA,AB=12,BC=5,BE⊥D

C，求证BE是圆O的切线

Answer 1

连结OB,则OB=OC,∴∠OBC=∠OCB,
∵四边形ABCD内接于⊙O,∴∠BAC+∠BCD=180°,
又∵∠BCE+∠BCD=180°,∴∠BCE=∠BAC,∵AB=DB,∴∠BDA=∠BAD,又∵∠BDA=∠BCA,∴∠BCA=∠BAD,∴∠BCE=∠OBC,∴OB∥DE
∵BE⊥DE,∴OB⊥BE,∴BE是⊙O的切线.

追问

为什么∠BAC+∠BCD=180°？

追答

手误应该是∠BAD+∠BCD=180（四边形另外两个角都是90°）,
又∵∠BCE+∠BCD=180°,∴∠BCE=∠BAD
∵∠BDA=∠BCA,∴∠BCA=∠BAD,

所以∠BCE=∠BCA=∠OBC，∴OB∥DE（内错角）
∵BE⊥DE,∴OB⊥BE,∴BE是⊙O的切线.