Question

如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE．

（1）求证：AF=BE；
（2）如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ是否相等？并说明理由．
向左转|向右转

Answer 1

（1）证明：设AF垂直BE于O
所以角AOE=90度
因为角AOE+角AEB+角FAD=180度
所以角AEB+角FAD=90度
因为四边形ABCD是正方形
所以AB=AD
角BAD=角ADC=90度
因为角ADC+角FAD+角AFD=180度
所以角FAD+角AFD=90度
所以角AEB=角AFD
所以三角形BAE和三角形FAD全等（AAS)
所以AF=BE
(2)MP与NQ相等
证明;:分别过点M ,Q作ME平行BC，QF平行DC
因为四边形ABCD是正方形
所以角A=角C=90度
AD=DC
AD平行BC
AB平行DC
所以AD平行ME
所以四边形AMED是平行四边形
所以四边形AMED是矩形
所以角MEP=90度
ME=AD
所以ME=DC
同理可证：四边形DCFQ是矩形
所以QF=DC
角QFN=90度
所以MP=QF
角MEP=角QFN=90度
因为MP垂直QN于G（G是设的点）
所以角NGP=90度
因为角NGP+角GPC+角C+角FNQ=360度
所以角FNQ+角GPC=180度
因为角GPC+角MPE=180度
所以角MPE=角FNQ
所以三角形MEP和三角形QFN全等（AAS)
所以MP=NQ