Question

设锐角三角形ABC的内角A，B，C的三边分别为a，b，c，a=2bsinA.（1）求B的大小（2）求cosA+sinC的取值范围

Answer 1

解1：求B的大小 过C点作AB的垂线CD，其中CD交AB于D点。 则在三角形ACD中，CD=ACsinCAD=bsinA 在三角形BCD中，BC=a=2bsinA 所以sinB=CD/BC=bsinA/2bsinA=1/2 因为三角形ABC是锐角三角形，所以，角B是锐角，而sinB=1/2，B=30° 解2：求cosA+sicC的取值范围 因为B=30°，而ABC为锐角三角形，A+C=180°-30°=150°，所以，要得出答案，就要用上这个已知条件。cosA=sin(90°-A)sicC=sin(180°-B-A)cosA+sicC=sin(90°-A)+sin(180°-B-A)利用三角函数的关系：sinα＋sinβ＝2sin[(α+β)/2]·cos[(α+β)/2]得：cosA+sicC=sin(90°-A)+sin(180°-B-A)=2sin{[(90°-A)+ (180°-B-A)]/2}]·cos{[(90°-A)-(180°-B-A)]/2}=2sin(120°-A)·cos(-30°)=√3sin(120°-A)…………………………………………………………（1）式因为A是锐角，即0＜A＜90°所以30°＜120°-A＜120°所以1/2＜sin(120°-A)＜1所以√3/2＜√3sin(120°-A)＜√3所以cosA+sicC的取值范围是（√3/2，√3）