Question

求解一道概率题，题目如下。

市场上某商品由3个厂家供货，其供货量A厂家为B厂家的2倍，B、C厂家相等，且A、B、C厂家的次品率为2%、2%、4%。若在市场上随机购买一件商品为次品，问该商品是A厂家生产的概率是多少？
答案是0.4，求解题过程，谢谢。

Answer 1

这是一个经典问题, 常被称为装错信封问题.
比较稳妥的方法是用递推.
设n个人全部拿错的情况数为a(n).
易见a(1) = 0, a(2) = 1.
n个人全部拿错的情况可分为两类:
① 第n个人所拿的枪的主人刚好拿到第n把枪.
所拿到的枪的主人有n-1种可能.
余下的n-2个人则有a(n-2)种全拿错的可能.
此类情况的总数为(n-1)·a(n-2).
② 第n个人所拿的枪的主人没有拿到第n把枪.
第n个人拿到的是第k把枪, 第n把枪则由第j个人拿到, 而j ≠ k.
k有n-1种可能, 以下分析当k确定后的情况数.
考虑一个操作: 将第k把枪交给第j个人, 同时去掉第n个人和第n把枪.
这个操作建立了k确定后的情况与n-1个人全拿错的情况的一一对应.
(存在逆操作: 加入第n个人和第n把枪, 用第n把枪与第k把枪交换, 将第k把枪交给第n个人).
于是此类情况的总数为(n-1)·a(n-1).
因此a(n) = (n-1)·a(n-1)+(n-1)·a(n-2).

本题要求至少有1人拿对的概率: p(n) = 1-a(n)/n!.
即有a(n) = n!-n!·p(n).
代入递推式得n!-n!·p(n) = (n-1)·(n-1)!-(n-1)·(n-1)!·p(n-1)+(n-1)!-(n-1)!·p(n-2).
整理得n·p(n) = (n-1)·p(n-1)+p(n-2), 即有p(n)-p(n-1) = -(p(n-1)-p(n-2))/n.
又由p(1) = 1-a(1)/1! = 1, p(2) = 1-a(2)/2! = 1/2, 有p(2)-p(1) = -1/2.
可得p(n)-p(n-1) = (-1)^(n+1)/n!.
于是p(n) = 1/1!-1/2!+1/3!-...+(-1)^(n+1)/n!.
请采纳。

Answer 2

假设A厂家供货量为2x，则B、C厂家供货量分别为x，x
所以次品量为0.1x，而该商品是A厂家生产的概率是0.4

追问

0.1x是怎么算出来的？

追答

把各个厂的次品相加得到

Answer 3

设出现次品为事件M
根据各家所占比例，产品出自A，B, C 的概率P(A)=2/4, P(B)=1/4, P(C)=1/4

P(M)=P(M|A)P(A)+P(M|B)P(B)+P(M|C)P(C)=0.02x(2/4)+0.02x(1/4)+0.04x(1/4)=0.025
所以P(A|M)=P(AM)/P(M)=P(M|A)P(A)/P(M)=0.02x(2/4) /0.025=0.4

追问

2/4，1/4，1/4；这三个数是怎么来的？

追答

设 B的出货量为t, C为t, A 为2t
那么A占得比例就是2t/(t+t+2t)=2/4
B和C就是1/4