Question

如图所示，在等腰梯形ABCD中，CD//AB，对角线AC，BD相交于O，∠ACD=60度，点S,P,Q分别为OD,OA,BC的中点。

求证：△PQS是 等边三角形2.若△PQS面积与△AOD的面积的比是7：8，求梯形上下两底的比CD:AB

3若AB=5，CD=3求SPQS

Answer 1

1、∵ABCD是等腰梯形，∠ACD=60°

∴AD=BC，AC=BD，OA=OD，OA=OB

那么易得：△AOB、△COD是等边三角形

∠COD=∠AOB=60°

∵S、P是OD、OA中点

∴SP=1/2AD

找AB中点M,连接PM、QM

∵Q是BC中点，P是OA中点，M是AB中点

∴PM∥PB，MQ∥AC

那么∠PMA=∠ABO=60，∠QMB=∠BAO=60°

∴△APM是等边三角形，那么PM=AM=BM，

∠QMP=180°-∠PMA-∠QMB=60°

∴∠QMP=∠QMB=60°

∵PM=BM，QM=QM

∴△BMQ≌△PMQ(SAS)

∴PQ=BQ=1/2BC=1/2AD

同理：找DC中点N，连接SN、QN

证明：△CNQ≌△SNQ(SAS)

得：SQ=CQ=1/2BC=1/2AD

∴SP=PQ=SQ

∴△PQS是 等边三角形

 

2、