Question

设命题p：函数f（x）=lg（ax2-4x+a）的定义域为R；命题q：不等式2x2+x＞2+ax，对∀x∈（-∞，-1）上

设命题p：函数f（x）=lg（ax2-4x+a）的定义域为R；命题q：不等式2x2+x＞2+ax，对∀x∈（-∞，-1）上恒成立，如果命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．

解：①若函数f（x）=lg（ax2-4x+a）的定义域为R，
则ax2-4x+a＞0恒成立．
若a=0，则不等式为-4x＞0，即x＜0，不满足条件．
若a≠0，则

a＞0
△=16-4a2＜0

，即

a＞0
a2＞4

，
解得a＞2，即p：a＞2．
②要使不等式2x2+x＞2+ax，对∀x∈（-∞，-1）上恒成立，
则a＞2x-
2
x
+1，对∀x∈（-∞，-1）上恒成立，
∵y=2x-
2
x
+1在 （-∞，-1]上是增函数， 为什么是（-∞，-1]，而不是（-∞，-1） ！！！！！！！！！
∴ymax=1，x=-1，
故a≥1，即q：a≥1．
若“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，
则p，q一真一假．
若p真q假，则

a＞2
a＜1

，此时不成立．
若p假q真，则

a≤2
a≥1

，解得1≤a≤2．
即实数a的取值范围是1≤a≤2．

Answer 1

命题p:函数f(x)=lg(ax²-4x＋a)的定义域为R，
则ax²-4x+a>0恒成立，
从而 a>0且⊿=16-4a²<0
解得 a>2
命题q:不等式2x²＋x＞2＋ax，对所有的x∈(-∞,-1)上恒成立，
由于x<0，分离参数，得
a>(2x²+x-2)/x=2x -2/x +1， x∈(-∞,-1)
令f(x)=2x -2/x +1， x∈(-∞,-1]
则a≥[f(x)]max，x∈(-∞,-1]
而f'(x)=2+2/x²>0，f(x)在(-∞，-1]上是增函数，
最大值为f(-1)，
从而a≥f(-1)=1
于是 p：a>2，q：a≥1
如果命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，
则p和q一真一假。由于p真时，q也真，
从而 p假q真，即 1≤a≤2