Question

初三几何题，求助。。

Answer 1

我只说方法，具体的书写你自己整理吧。

第一种解法：三角形面积判断
首先，BG⊥CG，你肯定会证明。
设BG=x，CG=y，∴x²+y²=2²=4。现在想求x+y的最值，因为x>0，y>0，∴求x+y的最值就是求(x+y)²的最值。
(x+y)²=x²+y²+2xy，∴原题又转为求xy的最值。
注意到，0.5xy就是直角三角形BGC的面积，而它的面积就是BC乘以BC边的高GH（H为过G点垂直BC的垂足），GH越大，xy也就越大；G越小，xy也越小。(这是从几何意义上解释的，还可以从不等式最值关系解释，我印象里是高中学的)
结果：当BG=CG时，GH最大，此时BG=CG=√2，∴BG+CG的最大值为2√2；当BG或CG=0时，GH=0，∴BG+CG的最小值就是2。

第二种解法：四点共圆法
易证BG⊥CG且BG=CG，∴BCEF共圆。BG+CG=2R=CF或BE，这里R为圆的半径。∴原题转为求圆半径或者直径的最值。而圆的直径就是CF或BE，显而易见，最大直径就是正方形对角线，最小值就是边长，∴BG+CG的最大值为2√2，最小值为2。

追问

谢谢。

不知道可不可以用四点共圆解决

有的话满分

追答

第二种解法：四点共圆法
易证BG⊥CG且BG=CG，∴BCEF共圆。BG+CG=2R=CF或BE，这里R为圆的半径。∴原题转为求圆半径或者直径的最值。而BG=GF，CG=GE(易证三角形BCE和CDF全等)，圆的直径就是CF或BE，显而易见，最大直径就是正方形对角线，最小值就是边长，∴BG+CG的最大值为2√2，最小值为2。

Answer 2

最大值4最小值2

追问

怎么做的

Answer 3

追问

嗯，你是对的，但我在怀疑可不可以用四点共圆解决，毕竟是这一专题里的。。

希望和你探讨下

圆周角 圆心角相关定理
垂径定理
相交弦定理等
初中的你说出来基本都可以接受