高等数学:根据数列极限的定义证明
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|√(n^2+a^2)/n-1|
=|[√(n^2+a^2)-n]/n|
=|[√(n^2+a^2)-n][√(n^2+a^2)+n]/{n[√(n^2+a^2)+n]}|
=a^2/|n[√(n^2+a^2)+n]|<a^2/(2n^2)<ε
n^2>a^2/(2ε)
n>|a|/√(2ε)
取N=[|a|/√(2ε)]+1
对于任意给定的ε>0,存在N=[|a|/√(2ε)]+1，使当n>N时，恒有|√(n^2+a^2)/n-1|<ε成立
∴lim[n-->∞]√(n^2+a^2)/n=1
=|[√(n^2+a^2)-n]/n|
=|[√(n^2+a^2)-n][√(n^2+a^2)+n]/{n[√(n^2+a^2)+n]}|
=a^2/|n[√(n^2+a^2)+n]|<a^2/(2n^2)<ε
n^2>a^2/(2ε)
n>|a|/√(2ε)
取N=[|a|/√(2ε)]+1
对于任意给定的ε>0,存在N=[|a|/√(2ε)]+1，使当n>N时，恒有|√(n^2+a^2)/n-1|<ε成立
∴lim[n-->∞]√(n^2+a^2)/n=1
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