Question

(2011·辽宁十二市)如图所示,在平面直角坐标系中,直线y=-根号3x-根号3与x轴交于点

Answer 1

解：（1）∵直线y=-√3x-√3
x轴交于点A，与y轴交于点C
∴点A（-1，0），C（0，-√3）
∵点A，C都在抛物线上，√33+c-√3=c，
∴抛物线的解析式为y=√33x2-√33x-√3，
∵y=√33x2-√33x-√3=√33（x-1）2-√33，
∴顶点F（1，-√33）；
（2）证明：
由（1）可知点A（-1，0），C（0，-√3），
∴AO=1，OC=-√3，
∴AC=2，设y=0，则y=√33x2-√33x-√3=0，解得：x=-1或3，
∴B的坐标是（3，0），
∴OB=3，
∴BC=BO2+OC2=32√3)2=2√3，
∵AC2+BC2=16，AB2=16，
∴AC2+BC2AB2=16，
∴△ABC为直角三角形；
在抛物线上存在异于点C的点P，使△ABP为直角三角形，
理由如下：根据抛物线的对称性，点C关于抛物线对称轴的对称点也符合题意，
∴P点的坐标是（2，-√3）；
（3）延长BC到点B′，使B′C=BC，连接B′F交直线AC于点M，则点M就是所求的点，
∵过点B′作B′H⊥AB于点H，
∵B点在抛物线y=√33x2-√33x-√3，
∴B（3，0），
在Rt△BOC中，tan∠OBC=√33，∴∠OBC=30°，BC=2√3，
在Rt△B′BH中，B′H=1 2 BB′=2√3，
BH=√3
B′H=6，∴OH=3，
∴B′（-3，-2√3），
设直线B′F的解析式为y=kx+b，
√3=-3k+b-√3
3=k+b，
解得：√36b=-√32，
∴y=√36x-√32，联立√3x-√3y=√36x-√32，
解得：
{ x=377，
∴在直线AC上存在点M，使得△MBF的周长最小，此时M（3 7 ，-√37）．