Question

f(0)=0,则f(x)在x=0处可导的充要条件为。选择项 h趋于0 [f(1-cosh)]/h^2存在 为什么错误。求大神帮助

求详细的分析。比如说那个极限存在它说明了什么实质？本题会继续询问并加分。

Answer 1

这题出的不错，一开始我都看不出哪里错了 右边那个等式的意义大概是这样的 lim [f(1-cosh)]/h^2 =lim f(1-cosh)/(2(1-cosh)) （至关重要的变形，在h->0时,2(1-cosx)和x^2是等价无穷小） = 1/2l im [f(0+( 1-cosh))-f(0)] / ( 1-cosh) （f(0)=0） 观察这个式子，如果把(1-cosh)看成△x（因为1-cosh->0，所以可以看成一个无穷小的增量），那么就成了 1/2lim [f(0+△x)-f(0)]/△x 其中△x->0，这个 似乎 正好是f(x)在0处的导数乘以1/2，即1/2f'(0) 这样看起来似乎[f(1-cosh)]/h^2存在f'(0)就存在，真的是这样吗？当然不是 必须注意到 1-cosh>=0，所以这只是一个单侧导数的1/2（ 1-cosh ->0+）。 而 导数定义中的 △x要求同时从两个方向(x-> 0+和x->0-）都要成立。 所以[f(1-cosh)]/h^2存在是f'(0)存在的一个必要条件，而非充分条件