Question

设正实数x,y满足xy=(x-4y)/(x+y),求y的取值范围

Answer 1

通过移项，可以得到等式：
x^2*y+xy^2-x+4y=0
因为x,y均为正实数，所以y不为0。等式两边除以y，得
x^2+(y-1/y)x+4=0
这个式子可以视为未知数为x的一元二次方程，设方程的两根分别为x1，x2，则有
x1*x2=4 （1）
x1+x2=1/y-y （2）
由1式知x的两根同号，也即两根均为正实数。
结合2式，应有：
1/y-y>0 （3）
另外，方程：x^2+(y-1/y)x+4=0 应有根，即满足
b^2-4ac>=0 （4）
由3、4两不等式可以确定y的取值范围。