Question

高中数学 求详细解 最好带图 谢谢

Answer 1

已知⊿ABC的周长为9，且|向量BC|，|CA|，|AB|成等比数列，
（1）求⊿ABC面积的最大值；
（2）设|CA|=b，f(b)=向量BA*BC，求f(b)的值域；
（1）解析：∵⊿ABC的周长为9，且|向量BC|，|CA|，|AB|成等比数列
设|向量BC|=a，|向量CA|=b，|向量AB|=c
∴a+b+c=9，b^2=ac
由余弦定理得cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=(a^2+c^2-ac)/(2ac)
又a^2+c^2>=2ac
∴cosB>=(2ac-ac)/(2ac)=1/2==>0<B<=π/3
∵a+c>=2√(ac)，∴9-b>=2b==>0<b<=3
∵a-c<b，∴(a-c)^2<b^2==>(a+c)^2-4ac<b^2
即，(9-b)^2-4b^2<b^2==>4b^2+18b-81>0==>b>9(√5-1)/4
∴9(√5-1)/4<b<=3
S(⊿ABC)=1/2acsinB=1/2b^2sinB<=1/2*3^2sinπ/3=9√3/4
∴⊿ABC面积的最大值为9√3/4
（2）解析：f(b)=向量BA*BC=accosB=(a^2+c^2-b^2)/2=[(a+c)^2-2ac-b^2]/2
=[(9-b)^2-3b^2]/2=-(b+9/2)^2+243/4
∵9(√5-1)/4<b<=3
f(3)=9/2，f(9(√5-1)/4)=(243-81√5)/8
∴9/2<=f(b)<(243-81√5)/8