Question

三角形ABC的内角A,B,C，所对应的边分别为a,b,c 1.若a,b,c.成等差数列，证明：si

三角形ABC的内角A,B,C，所对应的边分别为a,b,c
1.若a,b,c.成等差数列，证明：sinA+sinC=2sinA(A+C)
2.若a,b,c成等比数列，求cosB的最小值

Answer 1

1、a/sinA=b/sinB=c/sinC=2r
a=2rsinA，b=2rsinB，c=2rsinC
∵a、b、c成等差数列，∴2b=a+c
故4rsinB=2rsinA+2rsinC
2sinB=sinA+sinC
而∠A+∠B+∠C=180°，故sinB=sin（A+C）
∴2sin（A+C）=sinA+sinC
貌似你题目上不对呀~~多了一个A
2、若a、b、c成等比数列，那么b²=ac
cosB=（a²+c²-b²）/2ac=（a²+c²-ac）/2ac=1/2（a/c+c/a）-1/2≥1/2×2√（a/c×c/a）-1/2=1/2
当a=c时，cosB有最小值1/2

Answer 2

第一题题目应该是 三角形三边abc成等差数列，原因如下
若 内角ABC成等差数列，A=30° B=60° C=90°是符合题意的
那么sinA+sinC=1/2 +1=3/2, 2sin（A+C）=2Sin120°=√3
如果问题是三角形三边abc成等差数列，
那么 a+c=2b
由正弦定理得 SinA+SinC=2SinB=2Sin[π-(A+C)]=2Sin(A+C)

第二题(应该是边长成等比，否则角ABC会被唯一确定，不存在最值)
ac=b^2--------------(1) , 又因为对任意(a-c)^2>=0 即
a^2+c^2>=2ac----(2)
CosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)
由(1)得 CosB=(a^2+c^2-ac)/(2ac) 由(2)得 CosB>=(2ac-ac)/2ac=1/2
所以CosB的最小值为1/2

Answer 3

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