Question

已知：点E、F分别为正方形ABCD中AB、BC的中点，连接AF和DE相交于点G，GH⊥AD于点H．（1）求证：AF⊥DE；

已知：点E、F分别为正方形ABCD中AB、BC的中点，连接AF和DE相交于点G，GH⊥AD于点H．（1）求证：AF⊥DE；（2）如果AB=2，求GH的长；（3）求证：CG=CD．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠DAE=90°，
又∵E，F分别是边AB、BC的中点，
∴AE=

1

2

AB，BF=

1

2

BC，
∴AE=BF．
在△ABF与△DAE中，

AB＝AD ∠B＝∠DAE＝90° BF＝AE

，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴∠BAF=∠ADE，
∵∠BAF+∠DAG=90°，
∴∠ADG+∠DAG=90°，
∴∠DGA=90°，即AF⊥DE；

（2）在△DGA与△DAE中，

∠DGA＝∠DAE＝90° ∠ADG＝∠EDA

，
∴△DGA∽△DAE，
∴

DG

DA

=

AG

AE

=

AD

DE

，即

DG

2

=

AG

1

=

2

5

，
∴DG=

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