Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10，点E在下底边BC上，点F在腰AB上。 （1）若

如图，在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10，点E在下底边BC上，点F在腰AB上。 （1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积；（2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由；（3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）由已知条件得：梯形周长为12，高4，面积为28， 过点F作FG⊥BC于G， 过点A作AK⊥BC于K， 则可得：FG= ×4， ∴S △BEF = BE·FG=- x 2 + x（7≤x≤10）； （2）存在， 由（1）得：- x 2 + x=14 得x 1 =7，x 2 =5（不合舍去） ∴存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，此时BE=7； （3）不存在， 假设存在，显然是：S △BEF ∶S AFECD =1∶2， （BE+BF）∶（AF+AD+DC）=1∶2 则有 整理得：3x 2 -24x+70=0 △=576-840<0 ∴不存在这样的实数x， 即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积， 同时分成1∶2的两部分。