Question

已知实数a＞0，函数f（x）=ex-ax-1（e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的单调区间及最小值；（2）

已知实数a＞0，函数f（x）=ex-ax-1（e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的单调区间及最小值；（2）若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值；（3）在（2）的条件下，证明：(1n)n+(2n)n+…+(n?1n)n+(nn)n＜ee?1，其中n∈N*．]．

Answer 1

（1）∵f′（x）=e^x-a，
当a＞0时，若x∈（lna，+∞），f′（x）＞0，得函数f（x）在（lna，+∞）上是增函数；
若x∈（-∞，lna），f′（x）＜0，得函数f（x）在（-∞，lna）上是减函数．
则当a＞0时，函数f （x） 的单调递增区间是（lna，+∞），单调递减区间是（-∞，lna）． 
即f（x）在x=lna处取得极小值且为最小值，
最小值为f（lna）=e^lna-alna-1=a-alna-1．
（2）若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，
等价为f（x）_min≥0，
由（1）知，f（x）_min=a-alna-1，
设g（a）=a-alna-1，
则g′（a）=1-lna-1=-lna，
由g′（a）=0得a=1，
由g′（x）＞0得，0＜x＜1，此时函数单调递增，
由g′（x）＜0得，x＞1，此时函数单调递减，
∴g（a）在a=1处取得最大值，即g（1）=0，
因此g（a）≥0的解为a=1，
∴a=1．
（3）证明：由（2）知，对任意实数x均有e^x-x-1≥0，即1+x≤e^x．
令 （n∈N*，k=0，1，2，3，…，n-1），
则0＜1-

k

n

≤e?

k

n

．
∴（1-

k

n

）ⁿ≤(e?

k

n

)n=e^-k．
∴(

1

n

)n+(

2

n

)n+…+(

n?1

n

)n+(

n

n

)n
≤e^-（n-1）+e^-（n-2）+…+e^-2+e^-1+1
=

1?e?n

1?e?1

＜

1

1?e?1

=

e

e?1

．
∴(

1

n

)n+(

2

n

)n+…+(

n?1

n

)n+(

n

n

)n＜

e

e?1

．