Question

（2013?贵港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c交y轴于点C（0，4），对称轴x=2与x轴交于点

（2013?贵港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c交y轴于点C（0，4），对称轴x=2与x轴交于点D，顶点为M，且DM=OC+OD．（1）求该抛物线的解析式；（2）设点P（x，y）是第一象限内该抛物线上的一个动点，△PCD的面积为S，求S关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）在（2）的条件下，若经过点P的直线PE与y轴交于点E，是否存在以O、P、E为顶点的三角形与△OPD全等？若存在，请求出直线PE的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由题意得：OC=4，OD=2，∴DM=OC+OD=6，∴顶点M坐标为（2，6）．
设抛物线解析式为：y=a（x-2）²+6，
∵点C（0，4）在抛物线上，
∴4=4a+6，
解得a=?

1

2

．
∴抛物线的解析式为：y=?

1

2

（x-2）²+6=?

1

2

x²+2x+4．

（2）如答图1，过点P作PE⊥x轴于点E．

∵P（x，y），且点P在第一象限，
∴PE=y，OE=x，
∴DE=OE-OD=x-2．
S=S_梯形PEOC-S_△COD-S_△PDE
=

1

2

（4+y）?x-

1

2

×2×4-

1

2

（x-2）?y
=y+2x-4．
将y=?

1

2

x²+2x+4代入上式得：S=?

1

2

x²+2x+4+2x-4=?

1

2

x²+4x．
在抛物线解析式y=?

1

2

x²+2x+4中，令y=0，即?

1

2

x²+2x+4=0，解得x=2±2

3

．
设抛物线与x轴交于点A、B，则B（2+2

3

，0），
∴0＜x＜2+2

3

．
∴S关于x的函数关系式为：S=?

1

2

x²+4x（0＜x＜2+2

3

）．

（3）存在．
若以O、P、E为顶点的三角形与△OPD全等，可能有以下情形：
（I）OD=OP．
由图象可知，OP最小值为4，即OP≠OD，故此种情形不存在．
（II）OD=OE．
若点E在y轴正半