Question

已知点P（x0，y0）是渐近线为2x±3y=0且经过定点（6，23）的双曲线C1上的一动点，点Q是P关于双曲线C1实轴

已知点P（x0，y0）是渐近线为2x±3y=0且经过定点（6，23）的双曲线C1上的一动点，点Q是P关于双曲线C1实轴A1A2的对称点，设直线PA1与QA2的交点为M（x，y），（1）求双曲线C1的方程；（2）求动点M的轨迹C2的方程；（3）已知x轴上一定点N（1，0），过N点斜率不为0的直线L交C2于A、B两点，x轴上是否存在定点 K（x0，0）使得∠AKN=∠BKN？若存在，求出点K的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）可设c₁方程为 4x²-9y²=λ，又点（6，2

3

）在曲线上代入得λ=36．
所以双曲线C₁的方程为：

x2

9

?

y2

4

＝1                      …（4分）
（2）由题意A₁（-3，0），A₂（3，0），Q（x₀，-y₀）．
当P异于顶点时，KPA 1=

y

x+3

＝

y0

x0+3

，KQA 2=

y

x?3

＝

?y0

x0?3

所以 

y2

x2?9

＝

?y02

x02?9

＝?

4

9

   即  

x2

9

+

y2

4

＝1，  (x≠±3)．
当P为顶点时直线PA₁与 QA₂的交点为顶点
所以      

x2

9

+

y2

4

=1．…（9分）
（3）设L交曲线C₂于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可设L方程为x=ty+1 （t≠0）
代入C₂方程得   （9+4t²）y²+8ty-32=0
y1+y2＝

?8t

9+4t2

，y₁y₂=

?32

9+4t2

．
若存在K，则K_AK+K_BK=0，
∴y₁（ty₂+1-x_K）+y₂（ty₁+1-x_K）=0