已知函数f(x)=ax?bx?2lnx,f(1)=0.(1)若函数f(x)在其定域义内为单调函数,求实数a的取值范围;(2
已知函数f(x)=ax?bx?2lnx,f(1)=0.(1)若函数f(x)在其定域义内为单调函数,求实数a的取值范围;(2)若函数f(x)的图象在x=1处的切线的斜率为0...
已知函数f(x)=ax?bx?2lnx,f(1)=0.(1)若函数f(x)在其定域义内为单调函数,求实数a的取值范围;(2)若函数f(x)的图象在x=1处的切线的斜率为0,且an+1=f′(1an+1)?nan+1.①若a1≥3,求证:an≥n+2;②若a1=4,试比较11+a1+11+a2+…+11+an与25的大小,并说明你的理由.
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(1)∵f(1)=a-b=0,∴a=b,∴f(x)=ax?
?2lnx,
∴f′(x)=a+
-
.
要使函数f(x)在定义域(0,+∞)内为单调函数,则在(0,+∞)内f′(x)恒大于0或恒小于0,
当a=0时,f′(x)=-
<0在(0,+∞)内恒成立;
当a>0时,要使f′(x)=a(
-
)2+a-
>0恒成立,则a-
>0,解得a>1,
当a<0时,要使f′(x)=a(
-
)2+a-
><0恒成立,则a-
<0,解得a<-1,
所以a的取值范围为a>1或a<-1或a=0.
(2)①∵函数f(x)的图象在x=1处的切线的斜率为0,
∴f′(1)=0,即a+a-2=0,解得 a=1
∴f′(x)=(
-1)2,an+1=an2-nan+1
下面用数学归纳法证明:
(Ⅰ)当n=1,a1≥3=1+2,不等式成立;
(Ⅱ)假设当n=k时,不等式成立,即:ak≥k+2,∴ak-k≥2>0,
∴ak+1=ak(ak-k )+1≥2(k+2)+1=( k+3)+k+2>k+3
也就是说,当n=k+1时,ak+1≥(k+1)+2成立
根据(Ⅰ)(Ⅱ)对于所有n≥1,都有an≥n+2成立
②由①得an=an-1(an-1-2n+2)+1≥an-1[2(n-1)+2-2n+2]+1=2an-1+1,
于是an+1≥2(an-1+1)(n≥2),
所以a2+1≥2(a1+1),a3+1≥2(a2+1)…,an+1≥2(an-1+1)
累乘得:an+1≥2n-1(a1+1),则
≤
?
(n≥2),
所以
+
+…+
≤
(1+
+…+
)=
(1-
)<
.
a |
x |
∴f′(x)=a+
a |
x2 |
2 |
x |
要使函数f(x)在定义域(0,+∞)内为单调函数,则在(0,+∞)内f′(x)恒大于0或恒小于0,
当a=0时,f′(x)=-
2 |
x |
当a>0时,要使f′(x)=a(
1 |
x |
1 |
a |
1 |
a |
1 |
a |
当a<0时,要使f′(x)=a(
1 |
x |
1 |
a |
1 |
a |
1 |
a |
所以a的取值范围为a>1或a<-1或a=0.
(2)①∵函数f(x)的图象在x=1处的切线的斜率为0,
∴f′(1)=0,即a+a-2=0,解得 a=1
∴f′(x)=(
1 |
x |
下面用数学归纳法证明:
(Ⅰ)当n=1,a1≥3=1+2,不等式成立;
(Ⅱ)假设当n=k时,不等式成立,即:ak≥k+2,∴ak-k≥2>0,
∴ak+1=ak(ak-k )+1≥2(k+2)+1=( k+3)+k+2>k+3
也就是说,当n=k+1时,ak+1≥(k+1)+2成立
根据(Ⅰ)(Ⅱ)对于所有n≥1,都有an≥n+2成立
②由①得an=an-1(an-1-2n+2)+1≥an-1[2(n-1)+2-2n+2]+1=2an-1+1,
于是an+1≥2(an-1+1)(n≥2),
所以a2+1≥2(a1+1),a3+1≥2(a2+1)…,an+1≥2(an-1+1)
累乘得:an+1≥2n-1(a1+1),则
1 |
1+an |
1 |
2n?1 |
1 |
1+a1 |
所以
1 |
1+a1 |
1 |
1+a2 |
1 |
1+an |
1 |
1+a1 |
1 |
2 |
1 |
2n?1 |
2 |
5 |
1 |
2n |
2 |
5 |
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