Question

已知：关于x的一元二次方程mx2-（2m+n）x+m+n=0①．（1）求证：方程①有两个实数根；（2）求证：方程①有

已知：关于x的一元二次方程mx2-（2m+n）x+m+n=0①．（1）求证：方程①有两个实数根；（2）求证：方程①有一个实数根为1；（3）设方程①的另一个根为x1，若m+n=2，m为正整数且方程①有两个不相等的整数根时，确定关于x的二次函数y=mx2-（2m+n）x+m+n的解析式；（4）在（3）的条件下，把Rt△ABC放在坐标系内，其中∠CAB=90°，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），BC=5，将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在抛物线上时，求△ABC平移的距离．

Answer 1

证明：（1）∵a=m，b=-（2m+n），c=m+n
∴△=b²-4ac=[-（2m+n）]²-4m（m+n）
=4m²+4mn+n²-4m²-4mn
=n²（1分）
∵无论n取何值时，都有n²≥0
∴△≥0
∴方程①有两个实数根．（2分）

（2）∵原方程可化为：（mx-m-1）（x-1）=0，（3分）
∴x1＝

m+n

m

，x2＝1；
∴方程①有一个实数根为1．（4分）

（3）由题意可知：方程①的另一个根为x1＝

m+n

m

，
∵m+n=2，m为正整数且方程①有两个不相等的整数根，
∴m=1，
∴二次函数的解析式：y=x²-3x+2．（5分）

（4）由题意可知：AB=3，
由勾股定理得：AC=4
∴C点的坐标为（1，4）
当△ABC沿x轴向右平移，此时设C点的坐标为（a，4）（6分）
∵C在抛物线上，
∴

4＝a2?3a+2 a2?3a?2＝0

，
∴a＝

3± 17

2

，舍去负值，
∴a＝

3+ 17

2

；
∴△ABC平移的距离：

3+ 17

2

?1＝

1+ 17

2

．（7分）