已知数列{a n }，{b n }，且满足a n+1 -a n =b n （n=1，2，3，…）．（1）若a 1 =0，b n =2n，求数列{a
已知数列{an}，{bn}，且满足an+1-an=bn（n=1，2，3，…）．（1）若a1=0，bn=2n，求数列{an}的通项公式；（2）若bn+1+bn-1=bn（n...
已知数列{a n }，{b n }，且满足a n+1 -a n =b n （n=1，2，3，…）．（1）若a 1 =0，b n =2n，求数列{a n }的通项公式；（2）若b n+1 +b n-1 =b n （n≥2），且b 1 =1，b 2 =2．记c n =a 6n-1 （n≥1），求证：数列{c n }为常数列；（3）若b n+1 b n-1 =b n （n≥2），且b 1 =1，b 2 =2．若数列{ a n n }中必有某数重复出现无数次，求首项a 1 应满足的条件．
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| （1）当n≥2时，有 a n =a 1 +（a 2 -a 1 ）+（a 3 -a 2 ）+…+（a n -a n-1 ） =a 1 +b 1 +b 2 +…+b n-1 =2×1+2×2+…+2×（n-1） =2×
∴数列{a n }的通项为 a n = n 2 -n ． （2）∵b n+1 +b n-1 =b n （n≥2）， ∴对任意的n∈N * 有b n+6 =b n+5 -b n+4 =-b n+3 =b n+1 -b n+2 =b n ， ∴数列{b n }是一个以6为周期的循环数列 又∵b 1 =1，b 2 =2， ∴b 3 =b 2 -b 1 =1，b 4 =b 3 -b 2 =-1，b 5 =b 4 -b 3 =-2，b 6 =b 5 -b 4 =-1． ∴c n+1 -c n =a 6n+5 -a 6n-1 =a 6n+5 -a 6n+4 +a 6n+4 -a 6n+3 +…+a 6n -a 6n-1 =b 6n+4 +b 6n+3 +b 6n+2 +b 6n+1 +b 6n +b 6n-1 =b 4 +b 3 +b 2 +b 1 +b 6 +b 5 =-1+1+2+1-1+-2=0（n≥1）， 所以数列{c n }为常数列． （3）∵b n+1 b n-1 =b n （n≥2），且b 1 =1，b 2 =2， ∴b 3 =2，b 4 =1， b 5 =
且对任意的n∈N * ，有 b n+6 =
设c n =a 6n+i （n≥0），（其中i为常数且i∈{1，2，3，4，5，6}， ∴c n+1 -c n =a 6n+6+i -a 6n+i =b 6n+i +b 6n+i+1 +b 6n+i+2 +b 6n+i+3 +b 6n+i+4 +b 6n+i+5 =b 1 +b 2 +b 3 +b 4 +b 5 +b 6 =1+2+2+1+
所以数列{a 6n+i }均为以7为公差的等差数列． 记 f n =
（其中n=6k+i，k≥0，i为{1，2，3，4，5，6}中的一个常数）， 当 a i =
当 a i ≠
= ( a i -
= ( a i -
①若 a i ＞
②若 a i ＜
综上，当 a i =
当i=1时， a 1 =
此时的 a 1 = a 2 - b 1 =
当i=3时， a 3 =
此时的 a 2 = a 3 - b 2 =
当i=4时， a 4 =
此时的 a 1 = a 4 - b 3 - b 2 - b 1 =-
当i=5时， a 5 =
此时的 a 1 = a 5 - b 4 - b 3 - b 2 - b 1 =-
当i=6时， a 6 =
此时的a 1 =a 6 -b 5 -b 4 -b 3 -b 2 -b 1 =
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