Question

已知函数f（x）=log a 1-mx x-1 （a＞0，a≠1，m≠1）是奇函数．（1）当x∈（n，a-2）时，函

已知函数f（x）=log a 1-mx x-1 （a＞0，a≠1，m≠1）是奇函数．（1）当x∈（n，a-2）时，函数f（x）的值域是（1，+∞），求实数a与n的值；（2）令函数g（x）=-ax 2 +8（x-1）a f（x） -5，a≥8时，存在最大实数t，使得x∈（1，t]-5≤g（x）≤5恒成立，请写出t与a的关系式．

Answer 1

（1）由已知条件得f（x）+f（-x）=0对定义域中的x均成立． ∴ log mx+1 -x-1 a + log 1-mx x-1 a =0． 即   mx+1 -x-1     1-mx x-1   =1∴m 2 x 2 -1=x 2 -1对定义域中的x均成立． =1，m=1（舍去）或=-1，∴m=-1． ∴f（x）= log x+1 x-1 a （x＜-1或x＞1） 设t= x+1 x-1 =1+ 2 x-1 ， ∴当a＞1时，f（x）在（1，+∞）上是减函数． 同理当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上是增函数． ∵函数f（x）的定义域为（1，+∞）∪（-∞，-1）， ∴①当n＜a-≤-1时有0＜a＜1． ∴f（x）在（n，a-2）为增函数， 要使值域为（1，+∞）， 则 log n+1 n-1 a =1 a-2=-1 （无解）； ②当1≤n＜a-2时有a＞3． ∴f（x）在（n，a-2）为减函数， 要使f（x）的值域为（1，+∞），则 log a-1 a-3 a =1 n=1 ， ∴a=2+ 3 ，n=1． （2）g（x）=-ax 2 +8（x-1）a f（x） -5=-ax 2 +8（x+1）-5=-a（x- 4 a ） 2 +3+ 16 a 则函数y=g（x）的对称轴x= 4 a ，∵a≥8∴x= 4 a ∈(0， 1 2 ] ． ∴函数y=g（x）在（1，t]上单调减． 则1＜x≤t，有g（t）＜g（x）＜g（1） ∵g（1）=11-a，又∵a≥8，∴g（1）=11-a≤3＜5． ∵t是最大实数使得x∈（1，t]-5≤g（x）≤5恒成立 ∴-at 2 +8t+3=-5即at 2 -8t-8=0．