已知函数f(x)=log a 1-mx x-1 (a>0,a≠1,m≠1)是奇函数.(1)当x∈(n,a-2)时,函
已知函数f(x)=loga1-mxx-1(a>0,a≠1,m≠1)是奇函数.(1)当x∈(n,a-2)时,函数f(x)的值域是(1,+∞),求实数a与n的值;(2)令函数...
已知函数f(x)=log a 1-mx x-1 (a>0,a≠1,m≠1)是奇函数.(1)当x∈(n,a-2)时,函数f(x)的值域是(1,+∞),求实数a与n的值;(2)令函数g(x)=-ax 2 +8(x-1)a f(x) -5,a≥8时,存在最大实数t,使得x∈(1,t]-5≤g(x)≤5恒成立,请写出t与a的关系式.
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(1)由已知条件得f(x)+f(-x)=0对定义域中的x均成立. ∴
即
=1,m=1(舍去)或=-1,∴m=-1. ∴f(x)=
设t=
∴当a>1时,f(x)在(1,+∞)上是减函数. 同理当0<a<1时,f(x)在(1,+∞)上是增函数. ∵函数f(x)的定义域为(1,+∞)∪(-∞,-1), ∴①当n<a-≤-1时有0<a<1. ∴f(x)在(n,a-2)为增函数, 要使值域为(1,+∞), 则
②当1≤n<a-2时有a>3. ∴f(x)在(n,a-2)为减函数, 要使f(x)的值域为(1,+∞),则
∴a=2+
(2)g(x)=-ax 2 +8(x-1)a f(x) -5=-ax 2 +8(x+1)-5=-a(x-
则函数y=g(x)的对称轴x=
∴函数y=g(x)在(1,t]上单调减. 则1<x≤t,有g(t)<g(x)<g(1) ∵g(1)=11-a,又∵a≥8,∴g(1)=11-a≤3<5. ∵t是最大实数使得x∈(1,t]-5≤g(x)≤5恒成立 ∴-at 2 +8t+3=-5即at 2 -8t-8=0. |
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