Question

如图所示，半径为R的1/4光滑圆弧轨道最低点D与水平面相切，在D点右侧L 0 =4R处用长为R的细绳将质量为m的

如图所示，半径为R的1/4光滑圆弧轨道最低点D与水平面相切，在D点右侧L 0 =4R处用长为R的细绳将质量为m的小球B（可视为质点）悬挂于O点，小球B的下端恰好与水平面接触，质量为m的小球A（可视为质点）自圆弧轨道C的正上方H高处由静止释放，恰好从圆弧轨道的C点切入圆弧轨道，已知小球A与水平面间的动摩擦因数μ=0.5，细绳的最大张力F m =7mg，重力加速度为g，试求：（1）若H=R，小球A到达圆弧轨道最低点D时所受轨道的支持力；（2）试讨论H在什么范围内，小球A与B发生弹性碰撞后细绳始终处于拉直状态．

Answer 1

（1）设小球A运动到圆弧轨道最低点D时速度为v 0 ， 则由机械能守恒定律有： 1 2 mv 0 2 =mg（H+R） ① 圆弧轨道最低点，由牛顿第二定律可得：N-mg=m v 20 R ② 解得：N=5mg ③； （2）设A与B碰前速度为v A ，碰后A的速度为v A ′，B的速度为v B ， A与B碰撞过程，由动量守恒定律得：mv A =mv A ′+mv B ④ 由机械能守恒定律得： 1 2 mv A 2 = 1 2 mv A ′ 2 + 1 2 mv B 2 ⑤， A在水平面上滑行过程，由动能定理得：-μmgL 0 = 1 2 mv A 2 - 1 2 mv 0 2 ⑥ A、若碰后B能在竖直平面内做完整的圆周运动，则细绳始终处于拉直状态， 设小球B在最高处速度为v B ′，则在最高处有：mg≤m v′ 2B R ⑦ 小球B从最低点到最高点： 1 2 mv B 2 = 1 2 mv B ′ 2 +mg?2R ⑧， 小球B在最低点时细绳受力最大，F m -mg≥m v 2B R ⑨ 联立①④⑤⑥⑦⑧⑨解得：3.5R≤H≤4R ⑩， B、若A与B碰后B摆动的最大高度小于R，则细绳始终处于拉直状态，则 根据机械能守恒得： 1 2 mv B 2 ≤mgR （11）， 要保证A与B能发生碰撞，v A ＞0，（12） 联立①④⑤⑥（11）（12）解得：R＜H≤2R； 答：（1）若H=R，小球A到达圆弧轨道最低点D时所受轨道的支持力为5mg； （2）当3.5R≤H≤4R或R＜H≤2R时，小球A与B发生弹性碰撞后细绳始终处于拉直状态．