Question

已知函数f（x）=lnx-mx+m，m∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间．（Ⅱ）若f（x）≤0在x∈（0，+∞）上恒

已知函数f（x）=lnx-mx+m，m∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间．（Ⅱ）若f（x）≤0在x∈（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，任意的0＜a＜b，求证：f(b)?f(a)b?a＜1a(1+a)．

Answer 1

（Ⅰ）f/(x)＝

1

x

?m＝

1?mx

x

，(x∈(0，+∞))
当m≤0时，f′（x）＞0恒成立，则函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；…2分
当m＞0时，由f/(x)＝

1

x

?m＝

1?mx

x

＞0
则x∈(0，

1

m

)，则f（x）在(0，

1

m

)上单调递增，在(

1

m

，+∞)上单调递减．…4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：当m≤0时显然不成立；
当m＞0时，f(x)max＝f(

1

m

)＝ln

1

m

?1+m＝m?lnm?1只需m-lnm-1≤0即　….6分
令g（x）=x-lnx-1，
则g/(x)＝1?

1

x

，函数g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．∴g（x）_min=g（1）=0．则若f（x）≤0在x∈（0，+∞）上恒成立，m=1．…8分
（Ⅲ）

f(b)?f(a)

b?a

＝

lnb?lna+a?b

b?a

＝

lnb?lna

b?a

?1＝

ln b a

b a ?1

?

1

a

?1
由0＜a＜b得

b

a

＞1，
由（Ⅱ）得：ln

b

a

＜

b

a

?1，则

ln b a

b a ?1

?

1

a

?1＜

1

a

?1＝

1?a

a

＝

1?a2

a(1+a)

＜

1

a(1+a)

，
则原不等式

f(b)?f(a)

b?a

＜

1

a(1+a)

成立．…12分