Question

已知函数f（x）=-x2+6xcosα-16cosβ，且对任意实数t，均有f（3-cost）≥0，f（1+2-|t|）≤0恒成立．（Ⅰ

已知函数f（x）=-x2+6xcosα-16cosβ，且对任意实数t，均有f（3-cost）≥0，f（1+2-|t|）≤0恒成立．（Ⅰ）求证：f（4）≥0，f（2）=0；（Ⅱ）求函数f（x）的解析式；（Ⅲ）是否存在实数a，使得函数g（x）=f（x）+（a+1）x2-8x-a+212在x∈[1，4]存在零点？若存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

解答：（Ⅰ）证明：对任意实数t，均有f（3-cost）≥0，f（1+2^-|t|）≤0恒成立．
取t=π，得f（3-cosπ）≥0，即f（4）≥0，
取t=0，得f（3-cos0）≥0?f（2）≥0，f（1+2^-|0|）≤0?f（2）≤0，
则f（2）=0；                                      
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，f（2）=-4+12cosα-16cosβ=0?4cosβ=3cosα-1①
f（4）=-16+24cosα-16cosβ≥0?4cosβ≤6cosα-4②
将①代入②，得cosα≥1，从而cosα=1，cosβ＝

1

2

，
故f（x）=-x²+6x-8；           
（Ⅲ）解：假设存在实数a符合题意．由（Ⅱ）知f（x）=-x²+6x-8，
从而g(x)＝ax2?2x?a+

5

2

，
1）当a=0时，零点为x＝

5

4

，符合要求．   
当a≠0时，由于g(1)＝

1

2

＞0，
2）若g（x）在x∈[1，4]有两个零点（含相等），则

△＝4?4a(?a+ 5 2 )≥0 1＜ 1 a ≤4 g(4)＝15a? 11 2 ≥0

?

11

30

≤a≤

1

2

，
3）若g（x）在x∈[1，4]有一个零点，则

a≠0 g(4)≤0

?a≤

11

30

且a≠0．
综合可知：存在a，且a的范围为：(?∞，

1

2

]．