已知函数f(x)=x4-4x3+ax2-1在区间[0,1]上单调递增,在区间[1,2]上单调递减.(1)求a的值;(2)若斜

已知函数f(x)=x4-4x3+ax2-1在区间[0,1]上单调递增,在区间[1,2]上单调递减.(1)求a的值;(2)若斜率为24的直线是曲线y=f(x)的切线,求此直... 已知函数f(x)=x4-4x3+ax2-1在区间[0,1]上单调递增,在区间[1,2]上单调递减.(1)求a的值;(2)若斜率为24的直线是曲线y=f(x)的切线,求此直线方程;(3)是否存在实数b,使得函数g(x)=bx2-1的图象与函数f(x)的图象恰有2个不同交点?若存在,求出实数b的值;若不存在,试说明理由. 展开
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红尘千雪_KVNMW
推荐于2016-07-28 · 超过76用户采纳过TA的回答
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(1)f'(x)=4x3-12x2+2ax,
由函数f(x)=x4-4x3+ax2-1在区间[0,1]上单调递增,在区间[1,2]上单调递减,
知:x=1是函数f(x)的极大值点,所以f'(1)=0,解得a=4.
故a=4.
(2)由(1)知:f'(x)=4x3-12x2+8x,
令f'(x)=24,即x3-3x2+2x-6=0,(x-3)(x2+2)=0,
∴x=3,则切点为(3,8),
此切线方程为:y-8=24(x-3),即y=24x-64.
(3)令h(x)=f(x)-g(x),则h(x)=x4-4x3+(4-b)x2=x2(x2-4x+4-b),
由h(x)=0得:x=0,或x2-4x+4-b=0.--------(*)△=(-4)2-4(4-b)=4b,
①当△<0,即b<0时,(*)无实根,f(x)与g(x)的图象只有1个交点;
②当△=0,即b=0时,(*)的实数解为x=2,f(x)与g (x)的图象有2个交点;
③当△>0,即b>0时,若x=0是(*)的根,则b=4,方程的另一根为x=4,此时,f(x)与g(x)的图象有2个交点;
当b>0且b≠4时,f(x)与g(x)的图象有3个不同交点.
综上,存在实数b=0或4,使函数f(x)与g(x)的图象恰有2个不同交点.
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