Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为1的圆的圆心O在坐标原点，且与两坐标 轴分别交于A、B、C、D四点．抛

如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为1的圆的圆心O在坐标原点，且与两坐标 轴分别交于A、B、C、D四点．抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点D，与直线y=x交于点M、N，且MA、NC分别与圆O相切于点A和点C．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴交x轴于点E，连接DE，并延长DE交圆O于F，求EF的长；（3）过点B作圆O的切线交DC的延长线于点P，在抛物线上找一点Q，使△BDQ的面积与△BDP的面积相等，求点Q的坐标．

Answer 1

解答：解：（1）∵圆心O在坐标原点，圆O的半径为1，
∴A（-1，0）、B（0，-1）、C（1，0）、D（0，1），
∵抛物线与直线y=x交于点M、N，且MA、NC分别与圆O相切于点A和点C，
∴M（-1，-1）、N（1，1），
∵点D、M、N在抛物线上，
∴将D（0，1）、M（-1，-1）、N（1，1）的坐标代入y=ax²+bx+c，
得：

c＝1 ?1＝a?b+c 1＝a+b+c

，
解得：

a＝?1 b＝1 c＝1

，
∴抛物线的解析式为y=-x²+x+1；

（2）∵y=-x²+x+1=-（x-

1

2

）²+

5

4

，
∴抛物线的对称轴为直线x=

1

2

，
∴OE=

1

2

，DE=

1 4 +1

=

5

2

，
连接BF，则∠BFD=90°，
∴△BFD∽△EOD，
∴

DE

DB

=

OD

FD

，
又∵DE=

5

2

，OD=1，DB=2，
∴FD=

4 5

5

∴EF=FD-DE=

4 5

5

-

5

2

=

3 5

10

；

（3）根据题意得到点P在抛物线上，理由为：
设过D、C点的直线为y=kx+b，
将点C（1，0）、D（0，1）的坐标代入y=kx+b，得k=-1，b=1，
∴直线DC为y=-x+1，
过点B作圆O的切线BP与x轴平行，P点的纵坐标为y=-1，
将y=-1代入y=-x+1，得x=2，
∴P点的坐标为（2，-1），
当x=2时，y=-x²+x+1=-2²+2+1=-1，
则P点在抛物线y=-x²+x+1上；
可得S_△BDP=

1

2

BP?BD=

1

2

×2×2=2，
由S_△BDP=S_△BDQ，设Q横坐标为x，
∴S_△BDQ=

1

2

BD?|x_Q|=2，即|x_Q|=2，
∴x_Q=2或-2，
当Q横坐标为2时，与P重合，舍去；当Q横坐标为-2时，代入抛物线解析式得：y=-x²+x+1=-4-2+1=-5，
则Q坐标为（-2，-5）．