Question

已知点P（2，-3），Q（3，2），直线l：（2-a）x-（1+2a）y+（1+2a）=0（a∈R）；（1）求当直线l与直线PQ

已知点P（2，-3），Q（3，2），直线l：（2-a）x-（1+2a）y+（1+2a）=0（a∈R）；（1）求当直线l与直线PQ平行时实数a的值；（2）求直线l所过的定点（与a的值无关的点）M的坐标；（3）直线l与线段PQ（包含端点）相交，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）∵点P（2，-3）、Q（3，2），∴直线PQ的斜率k=

?3?2

2?3

=5，
当直线l与直线PQ平行时，直线l的斜率与PQ的斜率相等，
即

2?a

1+2a

=5，解之得a=-

3

11

；
（2）直线l：（2-a）x-（1+2a）y+（1+2a）=0，整理得（2x-y+1）+a（-x-2y+2）=0，
由此可得直线l经过直线2x-y+1=0与-x-2y+2=0的交点．
联解

2x?y+1＝0 ?x?2y+2＝0

，得x=0且y=1，
∴直线l所过的定点M的坐标为（0，1）；
（3）记F（x，y）=（2-a）x-（1+2a）y+（1+2a），
∵直线l与线段PQ（包含端点）相交，
∴P、Q两点在直线l的两旁，或其中有一点在直线l上，
可得F（2，-3）?F（3，2）≤0，
即[2（2-a）+3（1+2a）+（1+2a）][3（2-a）-2（1+2a）+（1+2a）]≤0，
化简得（6a+8）（-5a+5）≤0，解之得a≤-

4

3

或a≥1，
即当直线l与线段PQ（包含端点）相交时，实数a的取值范围是（-∞，-

4

3

]∪[1，+∞）．