Question

高中奥数题

一个整数n，n不能被2或5整除。
求证：一定有一个只由1组成的整数，能被n整除。

Answer 1

把所有由1组成的数从小到大排列：1,11,111,1111,11111……
用n依次去除这些数，得到一组余数。而且这些余数可能的值为0到n-1。
所以，只要取前n+1个由1组成的数，其中至少有两个，被n除余数相等（抽屉原理）
把这两个数相减，得到一个这样的数：1111111...11110000000...000000，这个数必然能被n整除。
注意到n不能被2或5整除，所以n不能被10 整除。所以将得到的那个数尾巴上的0全部去掉，仍然能被n整除。
如此，得到一个全由1组成的数，能被n整除。