Question

如图，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA=OB=1，经过原点O的直线l交线段AB于点C，过C作OC的垂线，与直线x=1相

如图，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA=OB=1，经过原点O的直线l交线段AB于点C，过C作OC的垂线，与直线x=1相交于点P，现将直线L绕O点旋转，使交点C从A向B运动，但C点必须在第一象限内，并记AC的长为t，分析此图后，对下列问题作出探究：（1）当△AOC和△BCP全等时，求出t的值；（2）通过动手测量线段OC和CP的长来判断它们之间的大小关系并证明你得到的结论；（3）①设点P的坐标为（1，b），试写出b关于t的函数关系式和变量t的取值范围．②求出当△PBC为等腰三角形时点P的坐标．

Answer 1

（1）△AOC和△BCP全等，则AO=BC=1， 又AB= 2 ， 所以t=AB-BC= 2 -1； （2）OC=CP． 证明：过点C作x轴的平行线，交OA与直线BP于点T、H． ∵PC⊥OC， ∴∠OCP=90°， ∵OA=OB=1， ∴∠OBA=45°， ∵TH ∥ OB， ∴∠BCH=45°，又∠CHB=90°， ∴△CHB为等腰直角三角形， ∴CH=BH， ∵∠AOB=∠OBH=∠BHT=90°， ∴四边形OBHT为矩形，∴OT=BH， ∴OT=CH， ∵∠TCO+∠PCH=90°， ∠CPH+∠PCH=90°， ∴∠TCO=∠CPH， ∵HB⊥x轴，TH ∥ OB， ∴∠CTO=∠THB=90°，TO=HC，∠TCO=∠CPH， ∴△OTC≌△CHP， ∴OC=CP； （3）①∵△OTC≌△CHP， ∴CT=PH， ∴PH=CT=AT=AC?cos45°= 2 2 t， ∴BH=OT=OA-AT=1- 2 2 t， ∴BP=BH-PH=1- 2 t， ∴ b=1- 2 t ；（0＜t＜ 2 ） ②t=0时，△PBC是等腰直角三角形，但点C与点A重合，不在第一象限，所以不符合， PB=BC，则 2 -t=|1- 2 t|， 解得t=1或t=-1（舍去）， ∴当t=1时，△PBC为等腰三角形， 即P点坐标为：P（1，1- 2 ）．