Question

已知函数f（x）=e x -ln（x+1）（1）求曲线y=f（x）上一点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）

已知函数f（x）=e x -ln（x+1）（1）求曲线y=f（x）上一点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）证明： e+ e 1 2 + e 1 3 +…+ e 1 n ≥ln(n+1)+n(n∈ N * ，e为常数) ．

Answer 1

（1）∵函数f（x）=e x -ln（x+1）， ∴f′（x）=e x - 1 x+1 ， ∴k=f′（0）=e 0 - 1 0+1 =0， f（0）=e 0 -ln1=1， ∴曲线y=f（x）上一点（0，f（0））处的切线方程为：y-1=0． （2）∵f′（x）=e x - 1 x+1 ，x＞-1． ∴由f′（x）=e x - 1 x+1 =0，得x=0． 当x＞0时，e＞1， 1 x+1 ＜1，所以当x＞0时，f′（x）＞0； 当-1＜x＜0时，ex＜1， 1 x+1 ＞1，所以当x＜0时，f′（x）＜0． ∴函数f（x）的减区间是（-1，0），增区间是（0，+∞）． （3）∵函数f（x）的减区间是（-1，0），增区间是（0，+∞）， ∴当x=0时，f（x）取得最小值f（0）=1，∴f（x）≥1， ∴e x -ln（x+1）≥1，即e x ≥ln（x+1）+1， 取x= 1 n ，则 e 1 n   ≥ln（ 1 n +1）+1=ln（n+1）-lnn+1， 于是e≥ln2-ln1+1， e 1 2 ≥ln3-ln2+1， e 1 3 ≥ln4-ln3+1， … e 1 n ≥ln（n+1）-lnn+1． 相加得，e+ e 1 2 + e 1 3 +…+ e 1 n ≥ln（n+1）+n．（n∈N*，e为常数）． 故 e+ e 1 2 + e 1 3 +…+ e 1 n ≥ln(n+1)+n(n∈ N * ，e为常数) ．