Question

在平面直角坐标系中，已知三点A（0，a），B（b，0），C（b，c），其中a，b，c满足关系式|a-2|+（b-3） 2

在平面直角坐标系中，已知三点A（0，a），B（b，0），C（b，c），其中a，b，c满足关系式|a-2|+（b-3） 2 =0，c=2b-a；（1）求a，b，c的值．（2）如果在第二象限内有一点P（m，1），请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；若四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等，请求出点P的坐标；附加题：（3）若B，A两点分别在x轴，y轴的正半轴上运动，设∠BAO的邻补角的平分线和∠ABO的邻补角的平分线相交于第一象限内一点Q，那么，点A，B在运动的过程中，∠AQB的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值，若发生变化，请说明理由．（4）是否存在一点N（n，-1），使AN+NC距离最短？如果有，请求出该点坐标，如果没有，请说明理由．

Answer 1

（1）∵|a-2|+（b-3） 2 =0， ∴a-2=0，b-3=0， 解得a=2，b=3． 将a=2，b=3代入c=2b-a，得 c=2×3-2=4． 故a=2，b=3，c=4； （2）如图．如果在第二象限内有一点P（m，1）， 那么四边形ABOP的面积=△AOP的面积+△AOB的面积 = 1 2 ×2×（-m）+ 1 2 ×3×2 =3-m； ∵△ABC的面积= 1 2 ×4×3=6， ∴3-m=6，解得m=-3， ∴点P的坐标（-3，1）； 附加题： （3）如图．∠AQB的大小不会发生变化，理由如下： ∵∠BAO的邻补角的平分线和∠ABO的邻补角的平分线相交于第一象限内一点Q， ∴∠1= 1 2 ∠DAB，∠2= 1 2 ∠ABE， ∴∠AQB=180°-（∠1+∠2） =180°- 1 2 （∠DAB+∠ABE） =180°- 1 2 （90°+∠ABO+90°+∠BAO） =180°- 1 2 （90°+90°+90°） =45°． ∴∠AQB的大小不会发生变化； （4）存在一点N（ 9 8 ，-1），使AN+NC距离最短．理由如下： 如图，作出点A（0，2）关于直线y=-1的对称点A′（0，-4），连接A′C，交直线y=-1于点N，则AN+NC距离最短． 设直线A′C的解析式为y=kx+t， 将点A′（0，-4），C（3，4）代入， 得 t=-4 3k+t=4 ， 解得 k= 8 3 t=-4 ， 所以直线A′C的解析式为y= 8 3 x-4， 当y=-1时， 8 3 x-4=-1， 解得x= 9 8 ， 即点N的坐标为（ 9 8 ，-1）． 故存在一点N（ 9 8 ，-1），使AN+NC距离最短．