Question

如图，正方形ABCE的边长为1，点M、N分别在BC、CD上，且△CMN的周长为2，则△MAN的面积的最小值为（ ）A

如图，正方形ABCE的边长为1，点M、N分别在BC、CD上，且△CMN的周长为2，则△MAN的面积的最小值为（ ）A、 B、 C、 D、





Answer 1

A

析：如图，延长CB至L，使BL=DN，则Rt△ABL≌Rt△AND，故AL=AN，进而求证△AMN≌△AML，即可求得∠MAN=∠MAL=45°设CM=x，CN=y，MN=z，根据x 2 +y 2 =z 2 ，和x+y+z=2，整理根据△=4（z-2） 2 -32（1-z）≥0可以解题． 延长CB至L，使BL=DN， 则Rt△ABL≌Rt△AND， 故AL=AN， ∴△AMN≌△AML， ∴∠MAN=∠MAL=45°， 设CM=x，CN=y，MN=z x 2 +y 2 =z 2 ， ∵x+y+z=2， 则x=2-y-z ∴（2-y-z） 2 +y 2 =z 2 ， 整理得2y 2 +（2z-4）y+（4-4z）=0， ∴△=4（z-2） 2 -32（1-z）≥0， 即（z+2+2 ）（z+2-2 ）≥0， 又∵z＞0， ∴z≥2 -2，当且仅当x=y=2- 时等号成立 此时S △ AMN =S △ AML = ML?AB= z 因此，当z=2 -2，x=y=2- 时，S △ AMN 取到最小值为 -1． 故选A．