Question

已知函数f（x）=x+ 2 x +1-a1nx（a＞0）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）设a=1，求f（x）在

已知函数f（x）=x+ 2 x +1-a1nx（a＞0）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）设a=1，求f（x）在区间[1，e 2 ]上的值域．

Answer 1

（1）∵函数f（x）=x+ 2 x +1-a1nx，a＞0 ∴f′（x）=1- 2 x 2 - a x = x 2 -ax-2 x 2 ，x＞0 令y=x 2 -ax-2（x＞0） △=a 2 +8＞0恒成立，即y=0有两个不等根 a± a 2 +8 2 ， 由x 2 -ax-2＞0，得x＞ a+ a 2 +8 2 ，由x 2 -ax-2＜0，得 0＜x＜ a- a 2 +8 2 综上，函数f（x）在（0， a- a 2 +8 2 ）上是减函数，在（ a+ a 2 +8 2 ，+∞）上是增函数． （2）当a=1时，由（1）知f（x）在（1，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数， 故函数在[1，2]是奇函数，在[2，e 2 ]上是增函数 又f（1）=4，f（2）=4-ln2，f（e 2 ）=e 2 + 2 e 2 -1＞4 ∴f（x）在区间[1，e 2 ]上值域是[4-ln2，e 2 + 2 e 2 -1]