Question

（2012?上城区二模）如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，AD平分∠CAB交弧BC于点D，交OC于点E，连接CD

（2012?上城区二模）如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，AD平分∠CAB交弧BC于点D，交OC于点E，连接CD，OD．给出以下四个结论：①S△DEC=2S△AEO；②AC∥OD；③线段OD是DE与DA的比例中项；④2CD2=CE?AB．其中结论正确的是（　　）A．①②③B．①②④C．②③D．②④

Answer 1

解：①过点E作EM⊥AC于点M，
∵AO=CO，AO⊥CO，
∴∠CAO=∠ACO=45°，
∴CM=ME，
∵AD平分∠CAB分别交OC于点E，EO⊥AO，EM⊥AC，
∴ME=EO，
∴CM=ME=EO，
∴CE=

2

ME=

2

EO，
∴CE：OE=

2

：1，
∵OA=OB，
∴△DCE的高＜△AOE的高OA，
∴S_△DEC＜

2

S_△AEO，
故①错误．
②∵AB是半圆直径，
∴AO=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∵AD平分∠CAB交弧BC于点D，
∴∠CAD=∠DAO=∠CAB，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC∥OD，
∴②正确．
③∵AD平分∠CAB交弧BC于点D，
∴∠DAB=∠CAD=

1

2

∠COD，
∴△DOE与△DAO不相似，
∴OD²≠DE?AD，
即线段OD不是DE与DA的比例中项，
故③错误．
④∵OC⊥AB，AD平分∠CAB交弧BC于点D，
∴∠COD=

1

2

×90°=45°，
∴∠CAD=

1

2

×45°=22.5°，
∵AB是半圆直径，
∴OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC=67.5°，
∵∠CAD=∠ADO=22.5°，
∴∠CDE=∠ODC-∠ADO=67.5°-22.5°=45°，
∴△CED∽△CDO，
∴CD：OC=CE：CD，
∴CD²=OC?CE=

1

2

AB?CE，
∴2CD²=CE?AB．
∴④正确．
综上所述，只有②④正确．
故选D．