Question

（2010?山东模拟）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，BC=2，AB=4，CCl=4，E在BBl上，且EB1=1，D

（2010?山东模拟）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，BC=2，AB=4，CCl=4，E在BBl上，且EB1=1，D、F分别为CCl、AlC1的中点．（I）求证：B1D⊥平面ABD；（Ⅱ）求异面直线BD与EF所成的角余弦值；（Ⅲ）求直线EF与平面ABD所成角的正弦值．

Answer 1

解：（I）证明：由条件得 DB=2

2

，D₁1=2

2

，BB₁=4
∴BD²+DB₁²=BB₁²
∴B₁D⊥DB，
又AB⊥面BCC₁B₁，
∴BA⊥B₁D
∴B₁D⊥面ABD（3分）
（Ⅱ）取B₁C₁的中点G，连接GE、GF，则EG∥BD，
∴∠GEF或其补角为BD、EF所成角（4分）
∵A₁B₁⊥面BCC₁B₁，GF∥A₁B₁∴FG⊥面BCC₁B₁，∴FG⊥GE
在Rt△EGF中，GE=

2

，GF=2，∴tan∠GEF=

2

，
∴cos∠GEF=

6

3

．
∴BD与EF所成角的余弦值

6

3

．（8分）
（Ⅲ）∵F，G分别为对应边的中点，
∴GF∥A₁B₁∥AB，
又由第二问得：EG∥BD
∴平面ABD∥平面GEF，
所以有：EF∥平面ABD．
故直线EF与平面ABD所成角的正弦值为0．