Question

（2014?兰州一模）如图，在等腰△ABC中，AB=BC，∠A=30°将△ABC绕点B顺时针旋转30°，得△A1BC1，A1B交A

（2014?兰州一模）如图，在等腰△ABC中，AB=BC，∠A=30°将△ABC绕点B顺时针旋转30°，得△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC、BC于D、F两点．（1）证明：△ABE≌△C1BF；（2）证明：EA1=FC；（3）试判断四边形ABC1D的形状，并说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵等腰△ABC中，AB=BC，∠A=30°将△ABC绕点B顺时针旋转30°，得△A₁BC₁，
∴AB=BC₁=A₁B=BC，∠ABE=∠C₁BF，∠A=∠C₁=∠A₁=∠C，
在△ABE和△C₁BF中，

∠A＝∠C1 AB＝BC1 ∠EBA＝∠FBC1

，
∴△ABE≌△C₁BF（ASA）；

（2）证明：∵△ABE≌△C₁BF，
∴EB=BF．
又∵A₁B=CB，
∴A₁B-EB=CB-BF，
∴EA₁=FC；

（3）答：四边形ABC₁D是菱形．
证明：∵∠A₁=∠C=30°，∠ABA₁=∠CBC₁=30°，
∠A₁=∠C=∠ABA₁=∠CBC₁．
∴AB∥C₁D，AD∥BC₁，
∴四边形ABC₁D是平行四边形
∵AB=BC₁，
∴四边形ABC₁D是菱形．