Question

设数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2-an，n∈N*（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=2nan，数列{bn}

设数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2-an，n∈N*（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=2nan，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：Tn≥2．

Answer 1

（Ⅰ）解：当n=1时，a₁=S₁=1，
当n≥2时，S_n=2-a_n，S_n-1=2-a_n-1，
两式相减得：S_n-S_n-1=-a_n+a_n-1，
整理得2a_n=a_n-1，
∴

an

an?1

＝

1

2

，（n≥2），
∴{a_n}是以1为首项，

1

2

为公比的等比数列，
∴a_n=（

1

2

）^n-1．
（2）证明：b_n=2na_n=n（

1

2

）^n-2=

n

2n?2

，
∴Tn＝

1

2?1

+

2

20

+

3

2

+…+

n

2n?2

，①

1

2

Tn=

1

20

+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n?1

，②
①-②得：

1

2

Tn=

1

2?1

+

1

20

+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n?2

?

n

2n?1

=2+

1? 1 2n?1

1? 1 2

?

n

2n?1

=4-

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