Question

在极坐标系中，圆C的方程为ρ=2acosθ，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l

在极坐标系中，圆C的方程为ρ=2acosθ，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为x＝3t+2y＝4t+2（t为参数）．（Ⅰ）若直线l与圆C相切，求实数a的值；（Ⅱ）若直线l过点（a，a），求直线l被圆C截得的弦长．

Answer 1

（I）由圆C的方程ρ=2acosθ，可得ρ²=2ρacosθ，化为x²+y²=2ax，配方为（x-a）²+y²=a²．
直线l的参数方程为

x＝3t+2 y＝4t+2

（t为参数），消去参数化为4x-3y-2=0．
∵直线l与圆C相切，∴

|4a?2|

42+(?3)2

=|a|，解得a=-2或

9

2

．
（II）把（a，a）代入4x-3y-2=0．可得4a-3a-2=0，解得a=2．
此时圆的方程为（x-2）²+y²=4．
∴圆心C（2，0），半径r=2．
∴圆心C到直线的距离d=

|8?2|

42+32

=

6

5

．
∴直线l被圆C截得的弦长=2

r2?d2

=

16

5

．