Question

已知x=1是函数f（x）=mx3-3（m+1）x2+nx+1的一个极值点，其中m，n∈R，m＜0，（1）求m与n的关系式；（2）

已知x=1是函数f（x）=mx3-3（m+1）x2+nx+1的一个极值点，其中m，n∈R，m＜0，（1）求m与n的关系式；（2）求f（x）的单调区间；（3）若m＜-4，求证：函数y=f（x）的图象与x轴只有一个交点．

Answer 1

（1）f′（x）=3mx²-6（m+1）x+n因为x=1是函数f（x）的一个极值点，所以f′（1）=0，即3m-6（m+1）+n=0，所以n=3m+6
（2）由（I）知，f′（x）=3mx²-6（m+1）x+3m+6=3m(x?1)[x?(1+

2

m

)]
当m＜0时，有1＞1+

2

m

，当x变化时，f（x）与f′（x）的变化如下表：

x	(?∞，1+ 2 m )	1+ 2 m	(1+ 2 m ，1)	1	（1，+∞）
f′（x）	＜0	0	＞0	0	＜0
f（x）	单调递减	极小值	单调递增	极大值	单调递减

故有上表知，当m＜0时，f（x）在(?∞，1+

2

m

)单调递减，在(1+

2

m

，1)单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
（3）证明：f（1）=m+4，当x＜-4时，f（1）＜0，
则函数f（x）的图象在x∈(1+

2

m

，+∞)上和x轴没有交点，在x∈(?∞，1+

2

m

)上单调递减，
与x轴有一个交点，综上所述，若m＜-4，函数y=f（x）的图象与x轴只有一个交点．