Question

如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB．（1）求证：AD⊥DC；（2）若AD=2，AC=5，

如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB．（1）求证：AD⊥DC；（2）若AD=2，AC=5，求AB的长．

Answer 1

解：（1）连接OC，
∵直线CD与⊙O相切于点C，
∴OC⊥CD．
∴∠OCA+∠DCA=90°，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠OAC，
又∵在⊙O中，OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，
∴∠DCA+∠DAC=90°，
则∠ADC=90°，
即AD⊥DC；

（2）连接BC．
∵AB为圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
又∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠OAC，
∴△ADC∽△ACB，
∴

AD

AC

＝

AC

AB

，即

2

5

＝

5

AB

，
则AB＝

5

2

．