Question

使函数 f(x)=lo g 2 (x+ 1 x )，x∈M 的值域为[1，2]，则区间M可以是______

使函数 f(x)=lo g 2 (x+ 1 x )，x∈M 的值域为[1，2]，则区间M可以是______．

Answer 1

令 x+ 1 x ＞0 解得，x＞0，故函数的定义域是（0，+∞）， 设t= x+ 1 x ，由于x＞0，故t≥2， ∵t在区间（0，1）上是减函数，在区间（1，+∞）上是增函数；且函数y=log 2 x 在定义域上是增函数， ∴ f(x)=lo g 2 (x+ 1 x ) 在区间（0，1）上是减函数，在区间（1，+∞）上是增函数， ∵ f(x)=lo g 2 (x+ 1 x )，x∈M 的值域为[1，2]，∴当 x+ 1 x =2时，函数值为1；当 x+ 1 x =4时函数值为2， 解得：x=1；x=2 ± 3 ， 根据函数的单调性知，区间M可以是 [1，2+ 3 ] 或[ 2- 3 ，1]， 故答案为： [1，2+ 3 ] ．