Question

某电视台举行电视奥运知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分．为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答

某电视台举行电视奥运知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分．为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选题答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰．已知选手甲答题的正确率为 2 3 ．（Ⅰ）求选手甲可进入决赛的概率；（Ⅱ）设选手甲在初赛中答题的个数为ξ，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．

Answer 1

（Ⅰ）  选手甲答3道题可进入决赛的概率为 ( 2 3 ) 3 = 8 27 ；  …1分 选手甲答4道题可进入决赛的概率为 C 23 ( 2 3 ) 2 ? 1 3 ? 2 3 = 8 27 ；…3分 选手甲答5道题可进入决赛的概率为 C 24 ( 2 3 ) 2 ?( 1 3 ) 2 ? 2 3 = 16 81 ； …5分 ∴选手甲可进入决赛的概率 p= 8 27 + 8 27 + 16 81 = 64 81 ．        …7分 （Ⅱ）依题意，ξ的可能取值为3，4，5．则有 p(ξ=3)= ( 2 3 ) 3 + ( 1 3 ) 3 = 1 3 ， p(ξ=4)= C 23 ( 2 3 ) 2 ? 1 3 ? 2 3 + C 23 ( 1 3 ) 2 ? 2 3 ? 1 3 = 10 27 ， p(ξ=5)= C 24 ( 2 3 ) 2 ?( 1 3 ) 2 ? 2 3 + C 24 ( 2 3 ) 2 ?( 1 3 ) 2 ? 1 3 = 8 27 ，…10分 因此，有 ξ 3 4 5 p 1 3 10 27 8 27 ∴ Eξ=3? 1 3 +4? 10 27 +5? 8 27 = 107 27 =3 26 27 ．          …12分．