Question

（1）已知函数f(x)＝lg1?x1+x．判断函数f（x）的奇偶性，并加以证明．（2）设函数f(x)＝1?22x+1．证明函

（1）已知函数f(x)＝lg1?x1+x．判断函数f（x）的奇偶性，并加以证明．（2）设函数f(x)＝1?22x+1．证明函数f（x）为R上的增函数．

Answer 1

（1）函数f（x）为奇函数，理由如下：
函数f(x)＝lg

1?x

1+x

的定义域（-1，1）关于原点对称
又∵f(?x)＝lg

1?(?x)

1+(?x)

=lg

1+x

1?x

=lg(

1?x

1+x

)?1=-lg

1?x

1+x

=-f（x）
∴函数f（x）为奇函数
证明：（2）取任意x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，
则0＜2x1＜2x2
∴2x1+1＞0，2x2+1＞0，2x2?2x1＞0
∴f（x₂）-f（x₁）=（1?

2

2x2+1

）-（1?

2

2x1+1

）=

2

2x1+1

-

2

2x2+1

=

2(2x2?2x1)

(2x1+1)(2x1+1)

＞0
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴函数f（x）为R上的增函数