Question

若三角形的三个内角的弧度数分别为α，β，γ，则4α+1β+γ的最小值为______

若三角形的三个内角的弧度数分别为α，β，γ，则4α+1β+γ的最小值为______．

Answer 1

∵三角形的三个内角的弧度数分别为α，β，γ，
∴α+β+γ=π，∴β+γ=π-α．
∴

4

α

+

1

β+γ

=

4

α

+

1

π?α

，
令f（α）=

4

α

+

1

π?α

，α∈（0，π）．
则f′(α)＝?

4

α2

+

1

(π?α)2

=

(2π?α)(3α?2π)

α2(π?α)2

，
令f′（α）=0，解得α＝

2π

3

．
当0＜α＜

2π

3

时，f′（α）＜0，函数f（α）单调递减；当

2π

3

＜α＜π时，f′（α）＞0，函数f（α）单调递增．
因此当α＝

2π

3

时，f（α）取得极小值即最小值，f(

2π

3

)=

4

2π 3

+

1

π? 2π 3

=

9

π

．
∴

4

α

+

1

β+γ

的最小值为

9

π

．
故答案为：

9

π

．