Question

（2011?平湖市模拟）如图，已知Rt△ABC≌Rt△DEF，∠C=∠F=90°，AC=DF=3，BC=EF=4，△DEF绕着斜边AB的中

（2011?平湖市模拟）如图，已知Rt△ABC≌Rt△DEF，∠C=∠F=90°，AC=DF=3，BC=EF=4，△DEF绕着斜边AB的中点D旋转，DE、DF分别交AC、BC所在的直线于点P，Q．当△BDQ为等腰三角形时，AP的长为______．

Answer 1

解：（1）当BD=BQ，
∠C=∠F=90°，AC=DF=3，BC=EF=4，
则AB=5，
过D作DM⊥BC与M，DN⊥AC于N，如图，
∵D为AB的中点，
∴DM=AN=

1

2

AC=

3

2

，BD=

1

2

AB=

5

2

，DN=BM=

1

2

BC=2，
∴BQ=BD=

5

2

，QM=

5

2

-2=

1

2

，
∴∠3=90°-

1

2

∠B，
而∠2+∠3=90°，
∴∠2=

1

2

∠B，
又∵Rt△ABC≌Rt△DEF，
∴∠EDF=∠A=90°-∠B，
而∠1+∠EDF+∠2=90°，
∴∠1=

1

2

∠B，即∠1=∠2，
∴△DQM∽△DPN，
∴PN：QM=DN：DM，即PN：

1

2

=2：

3

2

，
∴PN=

2

3

，
∴AP=

3

2

+

2

3

=

13

6

；

（2）当DB=DQ，则Q点在C点，如图，
DA=DC=

5

2

，
而Rt△ABC≌Rt△DEF，
∴∠EDF=∠A，
∴△CPD∽△CDA，
∴CP：CD=CD：CA，即CP：

5

2

=

5

2

：3，
∴CP=

25

12

，
∴AP=3-

25

12

=

11

12

；

（3）当QB=QD，则∠B=∠BDQ，
而∠EDF=∠A，
∴∠EDF+∠BDQ=90°，即ED⊥AB，如图，
∴Rt△APD∽Rt△ABC，
∴AP：AB=AD：AC，即AP：5=

5

2

：3，
∴AP=

25

6

．
故答案为

13

6

或