Question

已知圆C：x2+（y-1）2=5，直线l：mx-y+1-m=0（1）求证：当m∈R时，直线l与圆C恒有两个不同的交点；（2）

已知圆C：x2+（y-1）2=5，直线l：mx-y+1-m=0（1）求证：当m∈R时，直线l与圆C恒有两个不同的交点；（2）设l与圆交于A、B两点，若|AB|=17，求l的倾斜角；（3）求弦AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么？

Answer 1

（1）由于直线l的方程是mx-y+1-m=0，即 y-1=m（x-1），经过定点H（1，1），
而点H到圆心C（0，1）的距离为1，小于半径

5

，故点H在圆的内部，故直线l与圆C相交，
故直线和圆恒有两个交点．
（2）∵R=

5

，d=

|m|

m2+1

，|AB|=

17

，
∴根据垂径定理及勾股定理得：

17

4

=5-

m2

m2+1

，
整理得：m²=3，解得：m=±

3

，
∴直线l的倾斜角为：60°或120°．
（3）设AB中点M（x，y），当AB的斜率存在时，由题意可得CM⊥AB，故有K_AB?K_CM=-1．
∴

y?1

x?1

?

y?1

x?0

=-1，化简可得(x?

1

2

)2+（y-1）²=

1

4

，
即AB中点M的轨迹方程为(x?

1

2

)2+（y-1）²=

1

4

．
当AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x=1，此时AB的中点M的坐标为（1，1），
也满足(x?

1

2

)2+（y-1）²=

1

4

．
综上可得，AB中点M的轨迹方程为(x?

1

2

)2+（y-1）²=

1

4

．