Question

已知：如图，A是半径为2的⊙O上的一点，P是OA延长线上的一动点，过P作⊙O的切线，切点为B，设PA=m，PB=n

已知：如图，A是半径为2的⊙O上的一点，P是OA延长线上的一动点，过P作⊙O的切线，切点为B，设PA=m，PB=n．（1）当n=4时，求m的值；（2）⊙O上是否存在点C，使△PBC为等边三角形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由；（3）当m为何值时，⊙O上存在唯一点M和PB构成以PB为底的等腰三角形？并直接答出：此时⊙O上能与PB构成等腰三角形的点共有几个？

Answer 1

（1）解法一：连接OB．

∵PB切⊙O于B，
∴∠OBP=90°，
∴PO²=PB²+OB²，
∵PO=2+m，PB=n，OB=2，
∴（2+m）²=n²+2²m²+4m=n²；
n=4时，
解得：m1＝?2

5

?2（舍去），m2＝2

5

?2．
∴m的值为2

5

?2．
解法二：延长PO交⊙O于Q，PAQ为⊙O割线．
又∵PB切⊙O于B，
∴PB²=PA?PQ，
∵PB=n，PA=m，PO=m+4，
∴n²=m²+4m，
当n=4时，解得m1＝?2

5

?2（舍去），m2＝2

5

?2，
∴m的值为2

5

?2．

（2）存在点C，使△PBC为等边三角形；
当∠OPB=30°时，过点P作⊙O的另一条切线PC，C为切点，

∴PB=PC，∠OPB=∠OPC，
∴∠BPC=60°，∴△PBC为等边三角形；
连接OB，∠OBP=90°，OB=2，得OP=4，
∴m=PA=OP-OA=2．

（3）如图，设EF为线段PB的垂直平分线，垂足为D，当EF与⊙O相切于点M时，M符合要求；
连接OB、OM，
∵OB∥DM，OB=BD=OM=DM，∠OBD=90°，
∴四边形OMDB为正方形，

∴BD=DM=OM=2，
∴n=PB=4．
由（1）得n=4时，m=2

5

?2，
∴当m=2

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?2时，⊙O上存在唯一点M和PB构成以PB为底的等腰三角形，
此时⊙O上共有3个点能与PB构成等腰三角形．
（这3点分别是M，M₁，M₂．其中M是PB中垂线与⊙O的切点，M₁是延长BO与⊙O的交点，M₂是点B关于OP的对称点）